Enzo Martínez è un difensore del Gimnasia La Plata che è sceso in campo 10 partite di Liga Profesional Argentina nel 2024 dopo aver raggiunto il club il 3 settembre 2024, essendo stato scelto nell'11 iniziale in tutte le 10 presenze.
Il difensore ha collezionato la sua ultima presenza l'8 dicembre, con il Gimnasia La Plata: una sconfitta per 1-0 contro il Talleres, in cui ha giocato 33 minuti. Ha ricevuto 1 cartellino rosso.
Nell'ultima stagione con Defensor Sporting in Primera División Martínez ha collezionato 10 presenze.
Prima di arrivare a vestire la maglia del Gimnasia La Plata nel settembre 2024, il difensore ha collezionato 16 presenze in campionato con Liverpool.