Anton Shvets è un centrocampista Akhmat Grozny che è sceso in campo nella maggior parte delle partite della sua squadra in Premier League nel 2020/2021, avendo collezionato 21 presenze, per un totale di 1208 minuti. É stato scelto nell'11 iniziale in 14 presenze su 30 giornate ed è subentrato 7 volte.
Il centrocampista ha giocato la sua ultima gara il 16 maggio, con Akhmat Grozny: un pareggio per 2-2 contro Spartak Moskva, in cui ha giocato solamente 6 minuti. In totale il centrocampista ha realizzato 1 rete nel 2020/2021. Ha ricevuto 10 cartellini gialli, oltre a essere stato espulso 2 volte.
Il suo primo gol nel campionato è arrivato in una sconfitta 2-1 contro Dinamo Moskva il 28 febbraio.
Nella passata stagione di Premier League Shvets è sceso in campo in 19 partite con Akhmat Grozny.
Prima di cominciare l'esperienza con Akhmat Grozny nel luglio 2017, Shvets ha collezionato 71 presenze in campionato con Villarreal II, per un totale di 4 gol.